1摘要:火車上的服務提供者處於壟斷地位，具有得天獨厚的優勢，這使得食物很容易以更高的市場價格出售。價格越高，利潤越大，但是乘客是有上限的。如果價格繼續提高，越來越多的乘客會放棄購買，服務提供商獲得的總利潤也會相應改變。在該模型中，我們選擇供需雙方作為壹個系統，從供方的角度研究如何使銷售價格乘以需求，降低成本，即銷售效益最大化。
2問題的重述:
長途列車因為時間長，需要提供壹些車載服務。提供壹日三餐是主要服務。由於火車上各方面成本較高，火車上的食物價格也略高。以成都到烏魯木齊的K452次列車為例。每天的早餐是壹碗粥，壹個雞蛋，壹些鹹菜，價格是10元。中午和晚上的午餐，價格是15元。由於價格較高，乘客通常會自帶方便面、面包等食物。火車上也賣方便面和面包，但價格也貴。比如3元賣的方便面，壹般賣5元。當然，由於列車載客量有限，提供的餐食數量有限，適當提價也很正常。但是價格高也要有個限度，不能太高。如果車上有1000名乘客，其中500人有在車上買飯的需求，但車上的盒飯每餐只能供應200人；此外，該車還可為100人每餐提供方便面。請根據實際情況設計壹個價格方案，讓列車在餐飲銷售中獲得最大收益。
3問題分析:
價格和利潤同時上漲，導致要求購買的人數減少；
更低的價格和更低的利潤也導致要求購買的人數增加；
火車上賣什麽都有壹個最優價格，同時獲得最大利益；
這是壹個優化問題，關鍵是找到最優價格。
4問題假設:
1.盒飯每漲價1元，就會有20人選擇放棄購買，即b 1 = 20；
2.方便面每漲價1元，就會有36人選擇放棄購買，即b2 = 36
3.因為500人有在車上買菜的需求，所以假設可以提供500份早餐；
4.早餐每漲價1元，就會有30人選擇放棄購買，即b3 = 30
5.這裏取各個餐飲市場的價格作為成本價，即q1 = 10元(盒飯)，q2 = 3元(方便面)，q3 =5元(早餐)；
6.銷量x取決於價格p，x (p)是壹個減函數。
7.進壹步假設:x(p)= a–BP，a，b > 0；
5符號描述:
問:把各種餐飲市場的價格作為這裏的成本價，也就是食物的成本價；
p:食品的銷售價格；
答:絕對需求(P很小時的需求)，即價格最低時的購買人數；
b:當價格上漲1元時，購買者減少(需求對價格的敏感度)；
I:收入；u:利潤；c:支出；
x:需要購買某種食物的人數；
對應的下標1、2、3分別代表早餐、盒飯、方便面；例如:x1，x2，x3，X3分別代表購買盒飯、方便面、早餐的人數；
6模型建立和求解:
采用先統壹後分離的算法；
收入I(p)= px；支出C(p)= qx；利潤u(p)= I(p)-C(p)；求p最大化U(p)；
滿足使利潤U(p)最大化的最優價格p*。
u(p)= I(p)–C(p)
=(p–q)(a–BP)
= -bpp + ( a + bq)p - aq
因為
Q/2 ~費用的壹半；
B ~價格上漲1單位時銷量的下降(需求對價格的敏感度)b p*
A ~絕對需求(P很小時的需求)a p*
7對於便當:
根據假設，Q 1 = 10，B 1 = 20；因為500人有在車上買菜的需求，但車上的盒飯每餐只能供應200人；所以:a 1 = 500；購買人數:x 1 = 500–20p 1；
從p* = q/2+a/2 * b可以得到:p * = q 1/2+a 1/2 * b 1 = 10/2+500/2 * 20 = 17.5。
從500–20 * 17.5 = 150
從500–20P1 >:= 200得到p 1
因此，當獲得最大利潤時，p 1 = 15；
8方便面也可以用同樣的方法獲得:
q2 = 3，b2 = 36因為500人有在車上買菜的需求，但車上的盒飯每餐只能供應200人，此時還有300人需要泡面；所以a2 = 300，購買人數x = 300-36p 2；
從p* = q/2+a/2 * b可以得到:p * = Q2/2+A2/2 * B2 = 3/2+300/2 * 36 = 6.3；
從300–36 * 6.3 = 73
從300–36 * P2 > = 100；獲取p2
當U(p)取最大值時，P2 = 5.5；
9早餐以同樣的方式供應:
q3 = 5，b3 = 30因為500人有在車上買菜的要求，所以是:a 1 = 500；購買人數:x 1 = 500–30p 3；
因為供應不受約束，所以可以直接使用公式:
從p* = q/2+a/2 * b可以得到:p * = Q3/2+A3/2 * B3 = 5/2+500/2 * 30 = 11.5；
所以當獲得最大利潤時，p 1 = 11.5；
10結果的分析與檢驗；
1)盒飯、方便面、早餐價格分別為15元、5.5元、11.5元；
通過計算，所有價格不超過市場價的3倍，所提供的(早餐除外)可以銷售壹空，從中獲得最大利益；
這些計算結果應該是消費者可以接受的；
該模型計算出的價格與列車實際價格相近，說明是合理的。
該模型的建模和求解過程已經過檢驗，深入的檢驗還需要實踐來完成。
11模型評價；
優點:用壹個二次函數解決價格優化問題，從而獲得最大收益；簡化壹個復雜多變的問題；
缺點:需求對價格的敏感度僅憑自身經驗並不準確，敏感度問題只使用壹次函數，過於簡單化，未必能很好的展現其真實模型；
改進方向:使敏感度問題準確，更貼近實際；功能上可以嘗試使用更高級別的品種；
普及新思路:數學模型的建立必須從多方面考慮，其最終目的是將復雜問題簡單化，將實際問題數學化；數學問題面向生活；但這壹切都有壹個前提:必須有嚴格的數學規則和數學理論作為基礎；
12引用:
熊偉。運籌學[M]，武漢。武漢理工大學。
[2]蔣啟元等.數學模型[M]，北京.高等教育出版社