現代數學是以集合論為基礎的。集合論的意義是從壹個側面看到的，它把數學的抽象能力延伸到了人類認知的深處。壹組對象決定壹組屬性。人們可以通過解釋屬性來解釋概念(內涵)，也可以通過指定對象來解釋。那些符合概念的對象的總和叫做這個概念的外延，外延其實就是壹個集合。從這個意義上說，集合可以表示概念，而集合論中的關系和運算可以表示判斷和推理，所有現實的理論體系都可能包含在集合描述的數學框架中。
但是，數學的發展也是有階段性的。經典集合論只能把它的表現力限制在那些外延明確的概念和事物上。它明確規定每個集合必須由明確的元素組成，元素對集合的隸屬關系必須明確，不得有歧義。對於那些外延不明確的概念和事物，經典集合論暫時沒有體現出來，屬於有待發展的範疇。
長期以來，精確數學和隨機數學在描述自然界許多事物的運動規律方面取得了顯著的成果。然而，客觀世界中仍然存在大量模糊現象。人們習慣回避，但由於現代科技面臨的系統越來越復雜，模糊性總是伴隨著復雜性。
各學科尤其是人文、社會科學等“軟科學”的數學化、量化，將模糊數學處理問題推到了中心位置。更重要的是，隨著電子計算機、控制論和系統科學的迅速發展，要使計算機具有像人腦壹樣識別復雜事物的能力，就必須研究和處理模糊性。
我們研究人類系統的行為，或者處理可以與人類系統的行為相比較的復雜系統，比如航天系統、人腦系統、社會系統等。參數和變量多，各種因素交織在壹起，系統復雜，模糊性明顯。在認知方面，模糊性是指概念外延的不確定性，從而導致判斷的不確定性。
日常生活中，我們經常會遇到很多模糊的東西，沒有明確的量化邊界。我們應該用壹些模糊的詞語來描述和形容他們。比如年輕，高大，肥胖，好，漂亮，善良，火辣，遠方。在人的工作經驗中，往往會有很多模糊的東西。例如，要確定壹爐鋼水是否被冶煉，不僅要知道鋼水的溫度、成分比、冶煉時間等精確信息，還要知道鋼水的顏色、沸騰情況等模糊信息。所以除了涉及誤差的計算數學，還需要模糊數學。
與計算機相比，壹般來說，人腦具有處理模糊信息的能力，善於判斷和處理模糊現象。但是，計算機識別模糊現象的能力很差。為了提高計算機識別模糊現象的能力，需要將人們常用的模糊語言設計成機器可以接受的指令和程序，使機器能夠像人腦壹樣簡單靈活地做出相應的判斷，從而提高自動識別和控制模糊現象的效率。這樣，就需要找到壹種數學工具來描述和處理模糊信息，這促進了數學家對模糊數學的深入研究。因此，模糊數學的出現有其科學技術和數學發展的必然性。
模糊數學的研究內容
65438-0965年，美國控制論專家、數學家查德發表了論文《模糊集》，標誌著模糊數學這門學科的誕生。
模糊數學的研究內容主要包括以下三個方面:
首先，研究模糊數學的理論及其與精確數學和隨機數學的關系。Chad以精確數學的集合論為基礎，兼顧數學集合概念的修改和推廣。他提出用“模糊集”作為數學模型來表達模糊的事物。並逐步建立“模糊集”上的運算和變換規律，開展相關的理論研究，就有可能構建研究現實世界中大量模糊性的數學基礎和定量描述和處理看似相當復雜的模糊系統的數學方法。
在壹個模糊集合中，給定範圍內元素的隸屬關系不壹定只有“是”或“否”兩種情況，而是用0到1之間的實數來表示隸屬度，並且還有壹個中間過渡狀態。比如“老人”就是壹個模糊的概念。70歲壹定屬於老人，其隸屬度為1。40歲的絕對不是老人，其隸屬度為0。根據查德給出的公式，55歲時的“老”度為0.5，即“半老”，60歲時為0.8。Chad認為指出每個元素的從屬集合相當於指定壹個集合。當它屬於0到1之間的壹個值時，它就是壹個模糊集。
第二，學習模糊語言學和模糊邏輯。人類的自然語言是模糊的，人們往往接受模糊的語言和模糊的信息，並能做出正確的識別和判斷。
為了實現自然語言與計算機的直接對話，需要將人類的語言和思維過程提煉為數學模型，然後向計算機輸入指令，建立和諧的模糊數學模型，這是運用數學方法的關鍵。Chad利用模糊集合論建立模糊語言的數學模型，使人類語言定量化、形式化。
如果我們把壹個符合語法的標準句的從屬函數值設為1，那麽其他語法上略有錯誤但仍能表達類似思想的句子，就可以用0到1之間的連續數來表征。這樣就定量地描述了模糊語言，並設置了壹套運算和變換規則。目前模糊語言還不成熟，語言學家正在深入研究。
人的思維活動往往要求概念的確定性和準確性。排中律，采用形式邏輯，非真非假，然後做出判斷和推論，得出結論。現有的計算機都是基於二進制邏輯的，二進制邏輯在處理客觀事物的確定性方面發揮了很大的作用，但它不具備處理事物和概念的不確定性或模糊性的能力。
為了使計算機模擬人腦高級智能的特點，有必要將計算機轉入多值邏輯，研究模糊邏輯。目前模糊羅基還不成熟，需要進壹步研究。
第三，研究了模糊數學的應用。模糊數學以不確定的事物為研究對象。模糊集的出現是數學適應描述復雜事物的需要。Chad的可取之處在於利用模糊集的理論來發現和求解模糊對象，並使之精確化，從而使確定性對象的數學可以與不確定性對象的數學進行溝通，彌補了過去精確數學和隨機數學描述的不足。在模糊數學中，有模糊拓撲、模糊群論、模糊圖論、模糊概率、模糊語言學和模糊邏輯等許多分支。
模糊數學的應用
模糊數學是壹門新興的學科，已被應用於模糊控制、模糊識別、模糊聚類分析、模糊決策、模糊評價、系統論、信息檢索、醫學、生物學等領域。在氣象學、結構力學、控制和心理學方面都有具體的研究成果。但模糊數學最重要的應用領域是計算機函數，很多人認為它與新壹代計算機的發展密切相關。
目前，世界發達國家都在積極研究和試制智能模糊計算機。1986年，日本山川烈德博士首次試制成功模糊推理機，其推理速度為每秒10萬次。1988年，我國幾位博士在王培莊教授的指導下，也成功研制了壹臺模糊推理機——分立元件樣機，其推理速度為每秒15萬次。這表明我國在突破模糊信息處理的難點上邁出了重要壹步。
模糊數學還遠未成熟，對它還有不同的見解和看法，需要實踐來檢驗。
參考資料:
達克普。com百度