最小公倍數可以被2、3、4、5、6整除，最小公倍數的所有整數倍都滿足整除性質。讓
這樣的數字是60n-1，其中n是整數。
同時這個數可以被7整除，所以這個數也可以假設為7m，m是整數，同時滿足關系。
7m=60n-1，也就是60n-7m=1，因為60和7是質數。
所以我們用的是分階段的方法60 = 7 * 8+4，7 = 4 * 1+3，4 = 3 * 1+1。
提出1，1 = 4-3 * 1 =(60-7 * 8)+(60-7 * 8)* 1-7 =-17 * 7+2 * 60進行比較。
得到n=2，m=17，60n-7m=1成立。
當然，這只是解決方案之壹，更進壹步。
60n ≡ 1 (mod7)相當於60n-7m=1，顯而易見。
如果60n除以7的余數不是1，那麽60n-7m除以7的自然數不是1，這與60n-7m =1相矛盾。
對於同余公式60n≡1(mod7)，n明顯滿足n=7k+q的結構，其中k為整數，q滿足60q≡1(mod7)。從最初的討論可知，q=2是同余公式的壹個特解。那麽n的所有解都是n，假設存在另壹個解T使得T也滿足60t≡1(mod7)，則可以證明(t-n)≡0 (mod7)，也就是說T也是7k+2(參考離散數學中的同余壹章)。
所以所有且只有7k+2個數滿足這個公式，也就是說。
60(7k+2)-1，其中k為整數，都滿足問題幹條件。當k取0時，最小數為119。