在含有A克糖的B克糖水中加入m克糖，糖水就會變甜。
在這個事實中，我們可以得到這樣壹個數學命題:
若b > a > 0，則a/b < (a+m)/(b+m)，其中m > 0，m為實數。
解決方案:
從化學上來說，糖水會變甜，也就是溶解在水中的糖的質量分數變大。
原糖水中溶於水的糖的質量分數=a/b*100%。
加入m克糖，即溶液中溶質的量增加，增加後糖溶解在水中的質量= A+M。
同樣，溶液的質量也增加了，增加後溶液的質量變成了b+m。
因此，加入m克糖後，溶解在水中的糖的質量分數增加到=(a+m)/(b+m)*100%。
溶液質量大於溶質質量大於0，且b > a > 0。
從而得出結論A/B < (a+m)/(b+m)(註意m的取值範圍為m > 0，m為實數)。
從數學的角度來看，我們必須計算如下:
(a+m)/(b+m)-a/b
=[(a+m)b-(b+m)a]/(b+m)b
=m(b-a)/(b+m)b
其中(b+m)b是分母,( b+m) b > 0。
M(b-a)是壹個分子，從b > a > 0，我們知道m (b-a) > 0。
所以m (b-a)/(b+m) b > 0。
即(a+m)/(b+m)-a/b > 0。
已知(a+m)/(b+m) > a/b。
從而得出結論A/B < (a+m)/(b+m)(註意m的取值範圍為m > 0，m為實數)。
均值不等式的證明
證明的方法有很多，如數學歸納法(先或後歸納法)、拉格朗日乘數法、秦生不等式法、秩不等式法、柯西不等式法等等。
這裏有壹個簡單的理解方法。
秦生不等式方法
秦生不等式:凸函數f(x)，x1，x2，...xn是函數f(x)在區間(a，b)中的任意n個點，
然後就是:f [(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n *[f(x 1)+f(x2)+...+f (xn)]
設f(x)=lnx，f(x)是凸增函數。
因此，ln [(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n *[ln(x 1)+ln(x2)+...+ln (xn)] = lnn乘以√ (x65438+。
即，(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)