1/0.618=1.618
(1-0.618)/0.618=0.618
這種價值的作用不僅體現在繪畫、雕塑、音樂、建築等藝術領域，而且在管理和工程設計中也發揮著重要作用。
先說壹個數列，前幾個數字是:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144...這個系列的名字是”。特點是除了前兩個數外，每個數都是前兩個數之和(數值為1)。
斐波那契數列和黃金分割有什麽關系？發現相鄰兩個斐波那契數之比隨著數列的增加逐漸趨於黃金分割比例。即f (n)/f (n-1)-→ 0.618。因為斐波那契數都是整數，而且兩個整數的除法的商是有理數，只是在逐漸接近黃金分割比的無理數。但是當我們繼續計算更大的斐波那契數時，就會發現相鄰兩個數的比值真的非常接近黃金分割比。
這個斐波那契數不僅從1，1，2，3，5開始...像這樣，如果妳隨意選擇兩個整數，然後按照斐波那契數進行排序，兩個數的比值會逐漸接近黃金分割比。
壹個很能說明問題的例子是五角星/正五邊形。五角星很漂亮。我國國旗上有五顆，很多國家的國旗上也用五角星。為什麽？因為五角星裏能找到的所有線段的長度關系都符合黃金分割比例。在正五邊形的對角線滿了之後出現的所有三角形都是黃金分割三角形。
黃金分割三角形還有壹個特殊性。所有的三角形都可以用四個全等的三角形生成與自己相似的三角形，但黃金分割三角形是唯壹可以用五個全等的三角形而不是四個全等的三角形生成與自己相似的三角形的三角形。
由於五角星的頂角為36度，因此也可以得出黃金分割值為2Sin18。
黃金分割約等於0.618: 1。
指的是壹條線段分成兩部分的點，這樣原線段的長度與較長部分的比值就是黃金分割。線段上有兩個這樣的點。
利用線段上的兩個黃金點，可以做出壹個正五角星和壹個正五邊形。
2000多年前，古希臘雅典學派第三大數學家奧多克斯·薩斯(Odox Sass)首先提出了黃金分割。所謂黃金分割，是指將長度為L的線段分成兩部分，使壹部分與整體的比例等於另壹部分的比例。計算黃金分割最簡單的方法是計算斐波那契數列最後兩個數的比值1，1，2，3，5，8，13，21，...2/3, 3/5, 5/8, 8/65438.
文藝復興前後，黃金分割由阿拉伯人傳入歐洲，受到歐洲人的歡迎。他們稱之為“黃金方法”，歐洲17世紀的壹位數學家甚至稱之為“各種算法中最有價值的算法”。這種算法在印度被稱為“三率法”或“三數法則”，也就是我們現在常說的。
其實“黃金分割”在中國也有記載。雖然沒有古希臘那麽早，但是是中國古代數學家獨立創造的，後來傳入印度。經過考證。歐洲比例算法起源於中國，由阿拉伯經印度傳入歐洲，並非直接來自古希臘。
因為它在造型藝術中具有審美價值，在工藝美術和日用品的長寬設計中能引起人們的美感，在現實生活中也有廣泛的應用。建築內部分線段比例科學采用黃金分割，臺上播音員不是站在舞臺中央，而是站在舞臺側面，站在舞臺長度黃金分割處的位置最美，聲音傳播最好。即使在植物界，也使用黃金分割。如果妳從壹根小樹枝的頂端往下看，妳會看到樹葉是按照黃金分割定律排列的。在許多科學實驗中，經常采用壹種0.618的方法來選擇方案，即最優化方法，使我們能夠合理地安排較少的實驗，找到合理的西方和合適的工藝條件。正是由於它在建築、文學藝術、工農業生產和科學實驗中的廣泛而重要的應用，人們才把它珍貴地稱為“黃金分割”。
〔黃金分割〕是壹種數學比例關系。黃金分割比例嚴謹，藝術和諧，蘊含著豐富的審美價值。壹般在應用中是0.618，就像pi在應用中是3.14壹樣。
黃金矩形的長寬比就是黃金比例，換句話說，矩形的長邊是短邊的1.618倍。黃金比例和黃金矩形能給畫面帶來美感，令人愉悅。它可以在許多藝術和自然作品中找到。希臘雅典的帕薩神農寺就是壹個很好的例子。達芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形。蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最後的晚餐》也應用了這種比例布局。
編輯此發現歷史記錄。
自從公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究了正五邊形和正十邊形的畫法後，現代數學家得出結論，當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割。
公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第壹個系統地研究了這個問題，建立了比例理論。
歐幾裏得在公元前300年左右寫《幾何原本》時，吸收了歐多克索斯的研究成果，進壹步系統地論述了黃金分割，成為最早的關於黃金分割的論著。
中世紀以後，黃金分割披上了神秘的外衣，幾個意大利人帕喬利把中國與終點的比稱為神聖，並就此著書立說。德國天文學家開普勒稱黃金分割是神聖的。
直到19世紀，黃金分割這個名稱才逐漸流行起來。黃金分割數有很多有趣的性質，也被人類廣泛使用。最著名的例子是最優化中的黃金分割法或0.618法，由美國數學家基弗於1953年首先提出，並於70年代在中國推廣。
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壹個b
a:b=(a+b):a
該值通常由希臘字母ф表示。
黃金分割的奇妙之處在於它的比例和它的倒數相同。比如1.618的倒數是0.618，而1.618:1與1:0.618相同。
確切的值是(√5-1)/2。
黃金分割數是無理數，前2000位是:
0.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 : 50
2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 : 100
8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 : 150
7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 : 200
0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 : 250
1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 : 300
8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 : 350
2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 : 400
3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 : 450
1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 : 500
1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 : 550
7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 : 600
8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 : 650
8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 : 700
7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 : 750
1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 : 800
3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 : 850
9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 : 900
7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 : 950
9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362 : 1000
1076738937 6455606060 5921658946 6759551900 4005559089 : 1050
5022953094 2312482355 2122124154 4400647034 0565734797 : 1100
6639723949 4994658457 8873039623 0903750339 9385621024 : 1150
2369025138 6804145779 9569812244 5747178034 1731264532 : 1200
2041639723 2134044449 4873023154 1767689375 2103068737 : 1250
8803441700 9395440962 7955898678 7232095124 2689355730 : 1300
9704509595 6844017555 1988192180 2064052905 5189349475 : 1350
9260073485 2282101088 1946445442 2231889131 9294689622 : 1400
0023014437 7026992300 7803085261 1807545192 8877050210 : 1450
9684249362 7135925187 6077788466 5836150238 9134933331 : 1500
2231053392 3213624319 2637289106 7050339928 2265263556 : 1550
2090297986 4247275977 2565508615 4875435748 2647181414 : 1600
5127000602 3890162077 7322449943 5308899909 5016803281 : 1650
1219432048 1964387675 8633147985 7191139781 5397807476 : 1700
1507722117 5082694586 3932045652 0989698555 6781410696 : 1750
8372884058 7461033781 0544439094 3683583581 3811311689 : 1800
9385557697 5484149144 5341509129 5407005019 4775486163 : 1850
0754226417 2939468036 7319805861 8339183285 9913039607 : 1900
2014455950 4497792120 7612478564 5916160837 0594987860 : 1950
0697018940 9886400764 4361709334 1727091914 3365013715 : 2000
編輯這段生活應用
有趣的是，這個數字在自然界和人們的生活中隨處可見:人的肚臍是人體全長的黃金分割點，人的膝蓋是肚臍到腳跟的黃金分割點。大部分門窗的長寬比也是0.618……；在某些植物上，兩個相鄰葉柄之間的夾角是137度28’，這正好是將圓周分成1: 0.618的兩個半徑之間的夾角。據研究，這個角度對廠房通風采光效果最好。
建築師對數學中的0.618…有著特殊的偏愛。無論是古埃及的金字塔，巴黎聖母院，還是近幾個世紀的法國埃菲爾鐵塔，都有與0.618有關的數據…還發現壹些名畫、雕塑、照片的主題大多在圖中0.618…處。藝術家認為將弦樂器的琴橋放在0.618的位置……可以讓聲音更加柔和甜美。
數量0.618...更為數學家所關註，它的出現不僅解決了很多數學問題(比如把圓周分成十份，把圓周分成五份；求18度和36度等的正弦和余弦值。)，也使優化方法成為可能。最優化方法是解決最優化問題的壹種方法。如果煉鋼時需要加入某種化學元素來增加鋼的強度，則假定每噸鋼中加入的某種化學元素的量在1000-2000克之間。為了找到最合適的添加量，需要在1000克到2000克之間進行測試。通常取區間的中點(即1500g)進行測試。然後分別與1000g和2000g的實驗結果進行比較，選取強度較高的兩個點作為新的區間，然後取新區間的中點進行實驗，比較端點，依次進行，直到得到最理想的結果。這種實驗方法稱為二分法。但是，這種方法並不是最快的實驗方法。如果實驗點是區間的0.618，實驗次數會大大減少。這種取區間的0.618作為測試點的方法是壹維優化方法，也稱為0.618方法。實踐證明，對於壹個因素的問題，用“0.618法”做16次實驗，可以完成“二分法”做2500次實驗的效果。所以大畫家達芬奇稱0.618……為黃金數。
編輯此段0.618並警告
0.618和戰略戰役
0.618，壹個極其迷人而神秘的數字，而且它還有壹個非常好聽的名字——黃金分割律，是古希臘著名哲學家、數學家畢達哥拉斯在2500多年前發現的。古往今來，這個數壹直被後人奉為科學和美學的黃金法則。在藝術史上，幾乎所有優秀的作品都驗證了這個著名的黃金分割定律。無論是古希臘的帕臺農神廟，還是中國古代的兵馬俑，垂直線和水平線的比值正好是1到0.618。
或許，我們已經了解了很多0.618在科學和藝術上的表現，但妳有沒有聽說過，0.618與炮火硝煙、流血犧牲的激烈殘酷的戰場有著不解之緣，也在軍事上顯示出它的偉大而神秘的力量？
0.618和武器裝備
在冷兵器時代，雖然人們根本不知道黃金比例的概念，但當人們制造刀劍、大刀、長矛等武器時，黃金比例的規律早已處處體現，因為按照這個比例制造的武器使用起來會更加得心應手。
發射子彈的步槍剛制造出來的時候，它的手柄長度與槍身長度的比例是不科學不合理的，非常不便於抓握和瞄準。1918年，美國遠征軍壹位名叫阿爾文·約克的下士對這種步槍進行了改造，改造後的槍身與槍柄的比例正好是0.618。
其實從鋒利的刀口弧度到子彈、炮彈、彈道導彈沿軌跡飛行的頂點；從飛機進入俯沖轟炸狀態的最佳投放高度和角度，到坦克殼體設計時的最佳避彈坡度，我們不難發現黃金比例無處不在。
在火炮射擊中，如果壹門間接炮的最大射程為12 km，最小射程為4 km，其最佳射擊距離約為9 km，為最大射程的2/3，非常接近0.618。在戰鬥部署中，如果是進攻戰，火炮陣地的位置壹般是離己方前沿最大射程的1/3倍，如果是防禦戰，火炮陣地的位置應該是離己方前沿最大射程的2/3倍。
0.618和戰術安排
我國歷史上很早發生的壹些戰爭，都遵循0.618的規律。春秋戰國時期，晉厲公率軍攻打鄭，在鄢陵與支援鄭的楚軍決戰。鞏俐聽從了楚國叛徒苗本煌的建議，以楚國的右翼軍隊為主要攻擊點，於是他攻擊了中國軍隊的壹部分左軍。以另壹部攻楚軍中軍，集上軍、下軍、新軍、公家之兵攻楚右軍。其主攻點的選擇正好在黃金分割點。
成吉思汗指揮的壹系列戰爭，應該是戰爭中第壹次體現黃金分割律的軍事行動。數百年來，人們壹直不解成吉思汗的蒙古騎兵為何像颶風壹樣橫掃歐亞大陸，因為僅僅用遊牧民族勇敢、殘忍、狡猾、善騎射、騎兵機動性等原因不足以做出完全令人信服的解釋。也許還有其他更重要的原因？經過仔細研究，我們發現了黃金分割定律的巨大作用。蒙古騎兵的戰鬥隊形與西方傳統方陣有很大不同。在其五排陣型中，頭戴鋼盔、身穿馬甲的重騎兵與快速敏捷的輕騎兵比例為2:3，又是壹個黃金分割！妳不能不佩服馬背軍事家的天才。奇怪的是，這樣壹個天才指揮官率領的軍隊，並不是四面八方所向披靡的。
馬其頓和波斯的阿貝拉之戰是歐洲人在戰爭中使用0.618的成功例子。在這場戰役中，馬其頓的亞歷山大大帝將自己軍隊的進攻點選在了波斯大流士王軍隊的左中交界處。巧合的是，這壹部分也是整個戰線的“黃金點”，所以雖然波斯軍比亞歷山大的兵馬多幾十倍，但亞歷山大還是憑借自己的戰略智慧打敗了波斯軍。這場戰爭的深遠影響今天仍然清晰可見。在海灣戰爭中，多國部隊采用類似的處置方法擊敗了伊拉克軍隊。
兩軍交戰，如果其中壹方兵力和武器損失超過1/3，就很難與對方交戰。正因為如此，在現代高技術戰爭中，擁有高技術武器裝備的軍事強國采取長時間空襲的方式，先徹底摧毀對方1/3以上的兵力和武器，再發動地面進攻。讓我們以海灣戰爭為例。戰前，據軍事專家估計，如果* * *和國民警衛隊的裝備和人員被空襲損失30%甚至更多，就基本喪失戰鬥力。為了使伊軍的損失達到這個臨界點，美英聯軍多次將轟炸時間延長38天，直到摧毀戰區428輛坦克的38%、2280輛裝甲車的32%、3100門火炮的47%。此時伊軍兵力下降到60%左右，是軍隊失去戰鬥力的臨界點。也就是在伊拉克軍事實力被削弱到黃金分割後，美英才拔出“沙漠軍刀”砍向薩達姆。僅用了100小時的地面作戰就達到了戰爭的目的。在這場被稱為“沙漠風暴”的戰爭中，創造了壹場大戰只有百人陣亡奇跡的施瓦茨科普夫將軍，雖然不是大師，但他的運氣幾乎和所有軍事藝術大師壹樣好。其實真正重要的不是運氣，而是率領壹支現代軍隊的統帥有意無意地在戰爭的策劃中涉及了0.618，也就是說他或多或少受到了黃金分割定律的加持。
另外，在現代戰爭中，多國軍隊在執行具體進攻任務時，往往是梯隊進行的。第壹梯隊實力約占總實力的2/3，第二梯隊約占1/3。在第壹梯隊，投入主攻方向的兵力通常是第壹梯隊總兵力的2/3，輔助方向是1/3。防禦作戰中，第壹道防線的兵力通常是總數的2/3，第二道防線的兵力和武器通常是總數的1/3。
拿破侖大帝被黃金分割打敗？
0.618不僅體現在壹個時間壹個地點的武器和戰場布置上，在地域廣闊、時間跨度長的宏觀戰爭中也有充分的展現。
拿破侖大帝，梟雄之輩，絕不會想到自己的命運會和0.18緊緊聯系在壹起。6月，1812，是莫斯科最涼爽宜人的夏天。在未能消滅俄軍的博羅基諾戰役後，拿破侖此時率軍進入莫斯科。此時的他，躊躇滿誌，狂妄自大。他沒有意識到，此時天才和運氣正在從他身上消失，事業的巔峰和轉折點同時到來。後來，法國軍隊在大雪和呼嘯的寒風中沮喪地撤離了莫斯科。三個月的高歌猛進，兩個月的高潮與衰落，從時間軸上看，當法國皇帝透過火焰俯瞰莫斯科時，他的腳剛好踩在黃金分割線上。
1941年6月22日，納粹德國啟動了針對蘇聯的“巴巴羅薩”計劃，並進行了閃電戰。在很短的時間內，迅速占領了蘇聯的廣大領土，並繼續向國內進壹步推進。兩年多的時間裏，德軍壹直保持著進攻的勢頭，直到1943年8月“巴巴羅薩”行動結束，德軍轉入守勢，再也無力向蘇軍發起可以稱之為戰役的進攻。被所有戰爭史學家公認為蘇聯衛國戰爭轉折點的斯大林格勒戰役，發生在戰爭爆發後的17月，是德軍興衰26個月時間軸的黃金點。
編輯本段校樣方法
設線段AB的長度為A，C點在B點附近的黃金分割點，AC為B。
AC/AB=BC/AC
b^2=a*(a-b)
b^2=a^2-ab
a^2-ab+(1/4)b^2=(5/4)*b^2
(a-b/2)^2=(5/4)b^2
a-b/2=(√5/2)*b
a-b/2=(√5)b/2
a=b/2+(√5)b/2
a=b(√5+1)/2
a/b=(√5+1)/2
編輯此線段的黃金分割(尺規繪制)
1.設已知線段為AB，過點b為BC⊥AB，BC = ab/2；
2.鏈接AC；
3.以C為圓心，CB為半徑做圓弧，AC與D相交；
4.以A為圓心，AD為半徑，做壹個圓弧，在P處與AB相交，那麽點P就是AB的黃金分割點。
古希臘的帕臺農神廟是世界聞名的完美建築，其高寬比是0.618。建築師們發現，按照這種比例設計的宮殿更加宏偉美麗；如果設計壹個別墅，會更加舒適美觀。即使是設計成黃金矩形的門窗，也會更加和諧悅目。
其實就是在壹個黃金矩形裏，以壹個頂點為圓心，以矩形的短邊為半徑，做壹個四分之壹圓，穿過長邊和壹個點，做壹條垂直於長邊的直線。此時生成的新矩形(不是正方形)仍然是黃金矩形，這個操作可以無限重復，產生無數個黃金矩形。
令人驚訝的是，人體本身與0.618密切相關。非常擅長人體解剖學的意大利畫家達芬奇發現，人的肚臍位於體長的0.618處。喉位於肚臍至頭部長度的0.618處；肘關節位於肩關節和手指長度的0.618處。人體有四個黃金穴位，分別是肚臍、咽喉、膝蓋和肘關節，這也是人類生存的四個關鍵點。
編輯這壹段黃金分割和人的關系。
黃金分割與人關系密切。地球表面的緯度範圍是0-90度。如果分成黃金分割，34.38-55.62是地球的黃金地帶。無論從平均氣溫、年日照時數、年降水量、相對濕度等方面來看，都是最適合人類生活的地區。巧合的是，這個區域幾乎涵蓋了世界上所有的發達國家。
人類美學中的黃金分割
對人體的審美觀察受到種族、社會、個人等多種因素的影響，涉及到形式與精神、部分與整體的辯證統壹。只有整體和諧，比例相稱，才能稱之為完整的美。這次討論的問題主要是審美觀察的壹些規律。
(1)黃金分割律是公元前6世紀古希臘數學家畢達哥拉斯發現的，後來古希臘美學家柏拉圖稱之為黃金分割。這其實是壹個數值比例關系，即把壹條線分成兩部分，此時長段與短段之比正好等於整條線與長段之比，其數值比是1.618: 1或1: 0.618，也就是說長段的平方等於全長與短段的乘積。0.618，具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊含著豐富的審美價值。為什麽對於這樣的比例，人會本能的感覺到美的存在？其實這與人類的進化和人體的正常發育密切相關。據研究，在從類人猿進化到人類的過程中，頭骨和腿骨變化最大，體型變化最小，因為它與黃金相似。人體結構中的很多比例都接近0.618，這樣人體的美就定格在了幾十萬年的歷史積澱中。人類最熟悉自己，必然會把人體的美作為最高的審美標準，從物與人，從人與物中引申出來。任何和人體相似的物體都喜歡，都覺得美。所以黃金分割定律作為壹個重要的形式美定律，成為了壹代代流傳下來的美學經典定律，而且從未失效！近年來，在研究黃金分割與人體的關系時，發現有14個“黃金點”(壹個物體的短段與長段之比為0.618)，12個“黃金矩形”(寬長比為0.618)，兩個“黃金指數”(黃金指數)。黃金分割點:(1)肚臍:頭頂與腳底的分界點；(2)咽喉:頭頂與肚臍的分界點；(3)、(4)膝關節:肚臍與足底的分界點；(5)和(6)肘關節:肩關節與中指尖的分界點；(7)和(8)乳頭:軀幹乳頭縱軸上的分界點；(9)眉點:發際線與頦底1/3、2/3的分界點；(10)鼻下點:發際線與頦底之間1/3、2/3的分界點；(11)唇珠點:鼻底與頦底距離上1/3和中下2/3的分界點；(12)頦唇溝直點:1/3與上中部2/3之間以鼻底與頦底距離為分界點；(13)左角點:口裂水平線左1/3和右2/3的分界點；(14)右角點:口裂水平線右1/3與左2/3的分界點。面部黃金分割定律:面部三庭五眼的黃金矩形:(1)身體輪廓:肩寬臀寬平均值寬，肩峰至臀底高度長；(2)面部輪廓:眼睛水平線的臉寬，發際線到下巴底的距離長；(3)鼻輪廓:鼻翼寬，鼻根至鼻底距離長；(4)唇部輪廓:在靜止狀態下，上下唇峰之間的距離較寬，唇間距離較長；(5)和(6)手輪廓:手的橫徑寬，五指並攏時取平均長度；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上頜切牙、側切牙、尖牙輪廓(左右各三個):最大的近中、遠中徑寬，牙齦徑長。
黃金指數:(1)反映口鼻關系的鼻唇指數:鼻翼寬度與嘴角間距離的比值接近黃金數；(2)反映眼睛與嘴巴關系的眼唇指數:嘴角距離與眼睛外眥距離的比值接近黃金數。0.618作為健美的標準尺度之壹，無可非議，但不可忽視的是它具有“模糊性特征”。它和其他審美參數壹樣，有壹個允許的變化範圍，這個範圍受到民族、地域和個體差異的制約。
(2)比例關系就是把人體的美用數字表達出來，按照壹定的基準進行比較。判斷同壹人體某壹部位與人體比例關系的方法稱為同體法(見中圖)。分為三組:系數法，恒定手指高度和長度指數，如人體坐五次和站七次，即坐位時高度為頭高的5倍，站位時為7或7.5倍；百分比法，體長視為100%，身體各部位在其中的比例；二分法:即人體分為兩部分，大部分是從腳到肚臍，小部分是從肚臍到頭頂。標準臉型，其長寬比例協調，符合三停五眼(見右圖)。三停指的是臉的長度，把頭的發際線到下巴的距離分成三等份，即從發際線到眉毛、從眉毛到鼻尖、從鼻尖到下巴，每壹等份稱為壹停三停；五眼是指臉的寬度，兩耳之間的額投影長度為五眼裂的長度，除眼裂外，內、外眥之間的距離為壹眼裂的長度，外眥到耳朵的距離為壹眼裂的長度。
醫學與0.618有著千絲萬縷的聯系，可以解釋為什麽人在22到24攝氏度的環境下感覺最舒服。因為人的體溫是37℃，0.618的乘積是22.8℃，而人體的新陳代謝、生理節律、生理機能在這個溫度下都處於最佳狀態。科學家還發現，當外界環境溫度是人體體溫的0.618倍時，人會感到最舒適。現代醫學研究也表明，0.618與養生方式密切相關，動靜關系為0.618，是最好的養生方式。醫學分析還發現，吃到六七成飽的人幾乎不會有胃病。