什麽是數學？1什麽是數學，由庫蘭特和羅賓合著，是壹本世界著名的數學書籍。第壹版到現在已經60年了，大約20年前有兩家出版社出版了部分中文版。幸運的是，牛津大學出版社在1996出版了更新版，該版本的中文譯本最近由復旦大學出版社出版。
作為20世紀傑出的數學家，庫蘭特在當時的數學聖地哥廷根大學師從希爾伯特等數學家。納粹上臺後，他來到美國，創辦了舉世聞名的庫蘭特研究所。關於庫蘭特，瑞德有壹本在中國翻譯出版的傳記《壹個數學家的雙城記》，裏面有很多庫蘭特和當代代數的故事。光是看書中的照片，當時優秀知識分子的集體形象就以響亮的名字躍入我們的眼簾，足以讓我們這些學弟學妹佩服。有趣的是，哥廷根那些令人敬畏的數學大師們都寫過數學普及方面的精彩書籍，比如希爾伯特的《直觀幾何》、克萊因的《高視點初等數學》、韋伊的《對稱性》和庫蘭特的《什麽是數學》。這些作品的共同特點是戰略定位和積累。
亞伯曾經說過，我們應該向大師學習，而不是向他的弟子學習。因為大師可以很快帶領妳走上正途。
《什麽是數學》壹出版就受到了各方面的高度評價。愛因斯坦認為，這本書是“對整個數學領域的基本概念和方法的徹底而清晰的闡述”。韋爾、莫爾斯等數學大師也對其贊不絕口。《紐約時報》也願意花壹個版面來介紹。
單從題目來看，這本書的內容和體裁選擇很多(選擇面太廣，有時候既是自由也是問題)。比如這本書，可以寫成給幼兒看的書，也可以寫成給大人物看的專著(類似於大家熟知的布爾巴基的《數學》)。庫朗選擇的體裁大致就是今天所謂的“高級科普”。高級科普創作的難點不在於知識的深度，而在於如何保持作者與讀者之間必要的親和力。既要充分體現作者自己的想法，又要兼顧非專家的讀者。在這方面有許多失敗和成功的例子。然而，它流傳了幾十年，又不得不被著名數學家斯圖亞特更新的事實，證明了《數學是什麽》註定是壹本成功的經典。說不定以後還會有個斯圖爾特2更新呢！寫到這裏，筆者在想，論文的價值在於引用率，那麽科普作品的生命力是否在於它的修改或更新？也許這是壹個很好的指標。
除了體裁，庫朗還得面對另壹個難題。20世紀的數學已經發展到了望洋興嘆的地步。如何在壹本我們帶出去郊遊時可以隨便翻翻的書裏，把這門極度發達的學科的面貌呈現給讀者？Courant的做法是收集了大量的數學“寶藏”，故事的每壹個方面都不是深不見底，但也不是膚淺。足夠深入，到該結束的時候再結束。這種既不是盲人摸象，也不是解剖大象的方法，可以讓普通讀者理解數學無比精致的結構之美。這大概遵循了希爾伯特所提倡的數學是壹個有機整體的思想。
庫朗特給這本書加了副標題“思想和方法的基礎研究”。為什麽要講所謂的“研究”？斯圖爾特為我們揭示了這壹點。原來在相對簡單的字裏行間，有這樣壹個思想骨架，那就是數學這門學科。這個學科不是某些人的自由創造，而是抽象的、抽象的；然而，它並不完全基於物理對象，盡管數學在現實生活中應用廣泛。數學就像植物學或天文學壹樣。紀律固有的“節奏”促使它發展，而履行這壹紀律是我們的職責。比如植物學家發現壹個新物種，天文學家發現壹顆新星，就要記錄下來。不記錄就是無能。如果恰好這個新物種對人類戰勝癌癥意義重大，那麽這個植物學家可能就拿不到諾貝爾獎了。如果這種植物對人類毫無用處，植物學家最多在百科全書中簡單提壹下。壹開始就質疑這類知識是否有實用價值，是對該學科固有原則的背離，是徹頭徹尾的無知和錯誤。什麽是有價值的，什麽是沒什麽價值的，什麽應該被淘汰，應該由歷史來決定，而不是人為的。雖然希爾伯特謹慎地提出了23個問題，但他也警告說，事先判斷壹個問題的價值往往是不可能的。現在看來，在數學發展史上，其中壹些問題並不像最初認為的那樣有價值。龐加萊說，“預見數學未來的正確方法是研究它的歷史和現狀。”《什麽是數學》選取了壹些有價值的領域，這些領域很成熟，很吸引人。
《數學是什麽》內容條理清晰，層次分明。數學的三個部分——代數、幾何和分析——逐章依次闡述。作者還註意到不同章節的恰當銜接。整本書從自然數開始，然後延伸到數論和數系的拓展，直到設定最壹般的對象。在第三章中，我們轉向與數域代數有關的幾何作圖。在接下來的兩章中，作者將從射影幾何和非歐幾何的角度來討論拓撲學。後三章著重於微積分及其應用。
數學或相關學科中的重大問題壹直是數學理論發展的源泉和刺激。問題的重要性不在於難易程度，也不在於是否“高級”。通過書中穿插的問題，我們可以看到活生生的數學研究過程。以解代數方程為例。因為次數多了，和幾何作圖聯系起來，最後的發現豐富了:壹是提出了復數和代數的基本定理；第二是群論的發明。另壹方面，提高方程的元素個數，引出矩陣和線性空間的概念，最終與群有關。光是解方程就能做出這麽多花樣！
微積分是壹個和代數方程截然不同的領域，總是被壹些有趣的問題觸發。這些問題更多的來自物理學，其中最著名的是最速下降線、三體和關於肥皂膜形成的極小曲面的普拉托問題。還有純數學問題，比如四色問題。這些看似無關的問題使得數學家們將微積分擴展到微分方程、變分法、拓撲學和微分動力系統等重要分支。作者還補充了很多著名的“初等極值問題”，比如等周問題、光學三角形、最短網絡等等。既增加了可讀性，又強調了這些歷史名題對數學發展的不可磨滅的貢獻。
提出問題的目的是為了解決問題，提出新的問題。最終目的不是炫耀自己的解題技巧，而是強化理論武器，達到更高的境界和更廣闊的視野。所以數學家不是工程師，整個數學史就是數學家發現問題，而不是為數學家解決問題。工程師和醫生總是希望問題少壹些，而數學家恰恰相反。該書對問題背後新概念的把握可謂壹絲不茍，讀起來往往有“被提升”的感覺。幾個世紀以來，數學家在零碎問題的根源上尋找統壹性的努力無疑樹立了人類理性的壹個偉大裏程碑。
當然，庫朗沒有看到數學上壹些令人振奮的新進展，比如費馬大定理，四色問題的證明，還有素數問題，紐結，分形，連續統假設。所有這些都是斯圖亞特在第九章“最新進展”中介紹的。
這本書裏的參考文獻也挺不錯的，推薦閱讀書目肯定花了作者不少心思。這也是壹本好的科普書的特點。
好的作品要讓讀者常讀常新。比如《西遊記》，比起那些佛教經典，實在是太好讀了，但是在搞笑的故事和簡單的文字背後，他的思想奧秘真的不是壹句話，壹個人就能說實話的，所以壹直評論不斷；即使是普通讀者，在遇到壹些社會現象時，也會和小說中的情節做壹些類比，有新的感悟。那麽科學作品能達到同樣的效果嗎？至少，《數學是什麽》這本書是做出來的。
對《數學是什麽》的思考2俗話說，學而不思則罔。有壹次在壹個數學論壇閑逛，發現很多人都在討論這本書，評價很高。我以為和數學有關，就心血來潮買了這本書。直到我真正看完這本書，這本書已經在抽屜裏積了很久的灰塵。看完之後發現收獲真的太多了。
《什麽是數學》是寫給初學者和專家、學生和老師、哲學家和工程師的。是世界著名的通俗數學讀物。該書匯集了眾多經典的數學瑰寶，給出了壹組有趣而簡單的數學世界圖景，對整個數學領域的基本概念和方法進行了深刻而生動的闡述。
I Stewart增加了新的壹章，從新的角度闡述了數學的最新進展，描述了四色定理和費馬大定理的證明。這些問題在Courant和Robin寫這本書的時候還沒有解決，但是現在已經解決了。
愛因斯坦評論道:“什麽是數學”是對整個數學領域中基本概念和方法的透徹而清晰的闡述。“讀這本書讓我們清楚地知道什麽是數學。數學是研究思想和方法的學問。目前我們的數學教學有時會變成空洞的解題訓練。這種訓練雖然可以提高形式演繹的能力，但並不能導致真正的理解和深入的獨立思考。數學研究出現了過度專業化、過於強調抽象性的趨勢，而忽視了數學的應用及其與其他領域的聯系。因此，我們必須認識到，數學教學的最終目的應該是培養思維能力。閱讀《什麽是數學》會對廣大教師、學生和受教育者產生建設性的轉化，讓大家真正明白數學是壹個有機整體，是科學思維和行動的基礎。
作為壹名數學教師，我們不僅要幫助學生學習和掌握數學知識，還要註重培養學生的思維能力，掌握數學思想和方法。數學是壹種思維方式，不是解題訓練。這是每個數學老師都應該註意的。回到我自己的教學，我覺得如果學生對數學有了大致的了解，就不會再覺得數學是那麽的枯燥和可怕了。但要想像這本書作者壹樣崇高，就要靠我們作為教師的數學背景，在學生上課產生的問題中判斷什麽是數學本質的知識，並熟練處理相關的數學內容。作為壹名數學教師，我們不僅要幫助學生學習和掌握數學知識，還要註重培養學生的思維能力，掌握數學思想和方法。因此，我們必須認識到，數學教學的最終目的應該是培養思維能力，而絕不是解題訓練。這是每個數學老師都應該註意的，也是我以後努力的地方。
什麽是數學？3什麽是數學？《思想與方法基礎研究》由美國R. Courant和H. Robin合著。
序言裏有兩段話:第壹，數學對象是什麽不重要，重要的是它做什麽。數學掙紮在現實與非現實之間徘徊，它的意義不在於抽象的形式，也不存在於具體的物體中；這對於喜歡數學概念的哲學家來說可能是個問題，但這就是數學的巨大力量——我們稱之為所謂的“不切實際的現實”。數學把心靈感知的抽象世界和完全沒有生命的真實物質世界聯系起來。
第二，有意義的數學就像報紙雜誌講有趣的故事，但不像某些報紙雜誌，它的故事壹定是真實的，最好的數學應該像文學作品。故事來源於妳的真實生活，這讓妳投入了妳的精力和感情。
從這兩段話中，我想到了我們正在學習的“生命課堂”。我們努力使我們的課堂與現實生活世界溝通，使課堂內容與學生現有的生活經驗相結合。這無疑會讓我們的課堂更加生活化、發展化。如果我們的數學課只是壹個解題課，只是壹個空洞的微積分和推理，就不會有強大的生命力。如果脫離了與現實世界的聯系，這樣的數學只是壹個工具，是冷的沒有溫度的，沒有生命的。
如何實現這兩者的聯系和融合，是我們所有教師，尤其是數學教師應該思考和解決的問題。希望能從這本書裏找到壹些答案。
在文章的第五頁，有壹段話:幸運的是，盡管有壹些教條的哲學信仰，創造性思維仍在繼續發展，如果思維屈服於這種信仰，就會阻礙建設性的成就。無論對於專家還是普通人，唯壹能回答數學是什麽這個問題的，不是哲學，而是數學本身的生活經驗。
可見，數學來源於生活，又高於生活。數學是對現實生活的抽象和高度概括，數學是對生活中壹些現象和規律的歸納和綜合。所以，生活是土地，數學是這片土地滋養的花朵或參天大樹。數學的發展必須得到現實生活的滋養，才能獲得源源不斷的養分。因此，生活是數學的源泉，我們的“生活課堂”研究必須與生活和現實社會的發展密切相關，這樣我們的課堂才能真正具有生命力和不斷的活力。這也是我們今後研究和努力的方向。
什麽是數學？4什麽是數學？數學家R，Ke，H，Robin寫了壹本通俗數學的書來告訴妳。無論是數學專業的，還是想學數學的，都可以看這本書。尤其對高中生、大學生、中學數學老師來說，是壹本極好的參考書。這本書深刻而生動地闡述了整個數學領域的基本概念和方法。《紐約時報》評論說，這本書既寫給初學者，也寫給專家，還有學生和老師，哲學家和工程師，是壹本完美的書。
這讓我想起初中的時候，我對數學不感興趣。我以為數學太簡單了，壹學就能看懂。可以衡量，後來的壹堂數學課影響了我的壹生。
那是蘇上三年級的時候。他在XX中學的時候，壹個剛從東京留學回來的楊老師教數學。第壹節課，楊老師沒有講數學，而是講故事。他說:很久以前的世界，弱肉強食盛行，世界列強依仗他們的船造炮，獲取利益，都想蠶食瓜分中國。中國亡國滅種的危險迫在眉睫，必須振興科學，發展工業，救亡圖存。天下興亡，匹夫有責，這裏的每個學生都有責。他大量引用並描述了數學在現代科技發展中的巨大作用。這節課最後壹句話是:為了救國圖存，必須振興科學。數學是科學的先驅。為了發展科學，我們必須學好數學。我不知道蘇壹生上過多少課，但這壹課我永遠不會忘記。
楊老師的課深深打動了我，他給我的頭腦註入了新的思想。讀書不僅僅是為了擺脫個人困境，而是為了強國；讀書不僅僅是為個人找路，而是為中華民族創造。那天晚上，我翻來覆去，徹夜難眠。在楊老師的影響下，蘇的興趣從文學轉向了數學，並從此立下了“讀書不忘救國，讀書不忘救國”的座右銘。我對數學很著迷，無論是在酷暑的冬天，霜凍的早晨，還是雪夜，我只知道讀書，思考，解題，計算，四年算了上萬道數學習題。中學畢業的時候，我各科成績都在90分以上。
17歲時，蘇赴日留學，並以第壹名的成績考取東京工業學校，在那裏如饑似渴地學習。為國爭光的信念驅使蘇較早進入數學研究領域。同時撰寫論文30余篇，在微分幾何方面成績斐然，並於1931獲得理學博士學位。在獲得博士學位之前，蘇壹直是日本帝國大學數學系的講師。正當壹所日本大學準備高薪聘請他為副教授時，蘇決定回到中國，到養育他的祖先那裏教書。浙江大學教授回到蘇後，生活非常艱苦。面對困難，蘇的回答是，苦難不算什麽，我心甘情願，因為我選擇了壹條正確的道路，這是壹條愛國光明的道路！
我讀了，數學也有技巧。只要妳掌握了技巧，妳就會成功。
打開這本書才知道自己的數學專業知識是多麽的欠缺，感覺自己的數學水平還停留在小學階段，甚至中學學的東西都快忘光了。特別是新課程實施以來，我常常覺得自己不能深刻理解教材，看不透它的本質。《什麽是數學》是壹本研究數學思想和方法的專業書籍。深刻生動地闡述了整個數學領域的基本概念和方法。知識點是壹個個聯系起來的，遵循嚴格的邏輯推理，而不是憑空跳出來壹個結論讓妳接受。裏面的知識點要細細品味，細細咀嚼，細細消化，展開壹桶水，才能真正體會到什麽是數學。
數學作為人類思維的壹種表達方式，體現了人們積極主動、縝密推理和追求完美的意誌。其基本要素是邏輯與直覺、分析與建構、共性與個性。這句話裏，我似乎明白了為什麽有些睿智的老師總說數學的核心是哲學。我認為我們作為數學老師更重要的是引導學生辯證地理解我們所學的東西。比如，1/2大於1/5，有時在單位1不同時，1/2小於1/5。
作為壹名數學教師，我們不僅要幫助學生學習和掌握數學知識，還要註重培養學生的思維能力，掌握數學思想和方法。數學是壹種思維方式，不是解題訓練。這是每個數學老師都應該註意的。