比如立體幾何中的線面關系和求角距離問題轉化為矢量求解，如何定向量或建立空間坐標系，找到所演示的平行和垂直關系，如何用矢量表示角度和距離等都是關鍵問題。
立體幾何的計算和證明往往涉及兩大問題:壹是位置關系，主要包括垂直線、垂直線、平行線、平行線；二是測量問題，主要包括點到線和點到面的距離，線和面形成的角度，面形成的角度。這裏的例子很多，主要是用向量來證明線與面垂直，計算線與面的角度，但是如何證明線與面平行，計算點到面的距離，線與面的角度，以及面的角度的例子不多，起到拋磚引玉的作用。
以下是用向量法求解的簡單常識:
1.空間中的點P在平面MAB中的充要條件是存在唯壹的有序實數對X和Y，使得空間中存在某個點O。
2.對於空間中的任意點O和不規則直線的三個點A，B，C，如果:(其中X+Y+Z = 1)，那麽四個點P，A，B，C***平面。
3.用向量證明a‖b分別是A和B上的定向量(k ∈ r)。
4.用向量證明直線a⊥b，即分別在a和b上的定向量。
5.用向量求兩條直線A和B的夾角，就是分別在A和B上取和求:的問題。
6、用向量求距離轉化為求向量的模塊化問題。
7.研究線與面的關系或用坐標法求角度和距離的關鍵是建立正確的空間直角坐標系，正確表達已知點的坐標。
首先，圖形可以建立壹個坐標系。
如果可以建造的話
妳首先要知道怎麽求曲面的法向量。
求曲面法向量的方法是1。試著找出垂直於土壤表面的向量。
2。如果不是，設n=(x，y，z)。
因為法向量垂直於曲面
所以n垂直於平面上的兩條交線。
可以列出兩個等式。
兩個方程，三個未知數
然後根據計算方便
取z(或者x或者y)為壹個數。
然後找到曲面的法向量。
找到法向量後
1。二面角的求解就是求兩個面的法向量。
兩個法向量之間的夾角可以由兩個向量的乘積除以兩個向量模的乘積得到。
如果妳經過兩個面的同壹邊，妳可以看到兩個向量的箭頭或箭頭尾部的交點。
那麽二面角就是上面找到的兩個法向量之間的夾角的余角。
如果妳只能看到其中壹個的箭頭與另壹個的尾巴相交。
那麽上面兩個向量的夾角就是妳想要的。
2。點到平面的距離就是平面的法向量。
然後取平面上的任意壹點(除了該點在平面上的投影)
求平面外的點和妳取的點形成的向量，記為n1。
點到平面的距離是法向量和n1的乘積的絕對值除以法向量的範數。
示例:
第壹，空間中角度的矢量解
空間各種角度的計算壹直是立體幾何教學中的重點和難點。借助向量的夾角公式，可以很容易地避免求角的過程，而通過計算向量的夾角來實現。
角度公式:設置
規則
本文結合近年來的高考試題，分析了該公式在求解異面直線所成的角和兩個角的平面角中的應用。
1.異面直線夾角的計算。
壹般選取異面直線上兩個非零向量之和，計算兩個向量之間的夾角，就可以得到異面直線所成的角度。
例1(廣東卷2006)如圖5所示，AF和DE分別是直徑⊙O和⊙O1。AD垂直於兩個圓所在的平面，AD = 8，BC為直徑⊙O，AB = AC = 6，OE//AD。
(1)求直線BD和EF所成的角。
解法:以O為原點，以BC，AF，OE所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系(如圖)，然後O (0，0，0)，A (0，0)，B (0，0)，D (0，8)，E (0，0，8)，。
所以，
設直線BD和EF形成的角為，則
由直線BD和EF形成的角度是
方法總結:求解異面直線所成角度的計算時，通常先建立空間直角坐標系，然後在夾角公式中計算兩個矢量的坐標。需要特別註意的是，向量的夾角的範圍是，而直線在不同平面上形成的角的範圍是，需要註意的是，最終的計算結果應該是正的。
二面角的計算
二面角的計算可以利用平面法向量之間的夾角來實現，然後轉化為平面法向量的求解。最後需要註意的是，如果法向量同向，其夾角就是二面角的余角，如果反向，就是二面角的平面角。
例2在正三棱柱ABC-A1B1C1，E∈BB1，截面A1EC⊥邊AC1。若AA1=A1B1，求平面A1EC與平面A1B1C1形成的二面角的度數α。
解決方法:以A1為原點，構建壹個空間直角坐標系，如圖8所示。如果△A1B1C1的邊長是1，則A1 (0，0，0)，B1 (0，0)。
而AA1=A1B1，所以⊥，也就是平面A1EC的法向量，= (0，0，1)，= (0，1，-1。
那麽cosθ=，
所以coa (π-θ) = cos α =，
∴所需的二面角是α= arcos = 450°。
方法總結:在借助平面的法向量求解二面角的平面角時，壹定要註意判斷法向量之間的方向。
第二，空間距離的計算
用矢量求解距離主要有兩種方法，即距離公式或永遠可行的正交投影。
(1)設定，然後
(2)如圖所示，A點到平面A的距離等於A的斜線線段AB在A的法向量上的正投影長度，即d = A 1b 1 =；
(3) A和B是不同平面內的直線，而如果B？A、A∑A是A的向量，A1和B1分別是A和B上兩點的正投影，則A和B之間的距離為D = A1b1 =
例3已知:平面α和直線L上有兩點A和B，與平面α的距離為m，n，c為直線L上的任意壹點(與A和B不重合)，AC: CB = λ。求從C點到平面α的距離。
解析:將此問題化為平面幾何問題並結合矢量* * *直線的充要條件，使問題自然解決，無需記憶坐標公式。
解法:以直線L在平面α上的投影為X軸，以直線L的交點o為原點，如圖，設A(xA，m)，B(xB，n)，C(xC，yC)，設各點在平面上的投影分別為A1，B1，C1。
=(xC-xA，yC-m)，=(xB-xC，n-yC).
給定AC: CB = λ，且A、B、C的直線為* * *，則向量= λ，
即(xc-xa，YC-m) = λ (xb-xc，n-YC)
yC-m= λ(n-yC)，
Get(取正號)，yC=(取負號)，
有兩個結果，因為a和b要麽在平面的同壹側，要麽在平面的相反側。
當A和B在同壹邊時，C到平面的距離是，在對面，yC=。
(說明這個問題歸結為壹個平面幾何問題，結合矢量* * *直線的充要條件，不用背坐標公式，問題自然解決。)
三。空間證明
用平面的法向量和直線的方向向量證明空間幾何問題，簡單快捷。解決問題的關鍵是確定與問題相關的平面及其法向量。如果圖中的法向量不是直接給定的，那麽必須先創建法向量。
例4四角錐的底面P-ABCD是邊長為a的正方形，PB⊥平面ABCD，e和f分別是PA和PC上的中點。
(1)驗證:棱錐的高度是任意的(不為0)，平面PAD與平面PCD形成的二面角總是大於900；
(2)當金字塔的高度是什麽值時，PD⊥平面EFB。
證明(1):建立以B為原點，BC為X軸，BA為Y軸，BP為Z軸的空間直角坐標系，如圖。
設金字塔的高度為h，那麽每個點的坐標為A(0，A，0)，C(a，0，0)，P(0，0，h)。通過點b是BB1⊥AP和交點B1，那麽B1(0，y，z)，(顯然z≠0)
∵⊥平面ABCD，
∴飛機PAD⊥飛機PAB，PCD⊥飛機PBC，
∴ =(0，-y，-z)是平面襯墊的法向量，
同樣，平面PCD的法向量= (-x，0，-z)，
設這兩個法向量之間的夾角為θ，
那麽cos θ = > 0，
所以二面角的余弦值cos (π-θ)小於0。
∴由平面墊和平面PCD形成的二面角總是大於90°。
解(2): e (0，)，f (0，)，D(a，a，0)，
如果⊥平面EFB，那麽= (a，a，-h) (0，-，-) = 0，
也就是-+= 0，
簡化為a=h，h=a時∴，PD⊥平面EFB。