線面垂直的判定定理證明
判定定理：
如果壹條直線與平面內兩條相交直線都垂直，那麽這條直線與這個平面垂直。
註意關鍵詞“相交”，如果是平行直線，則無法判定線面垂直。需要相交的原因見下文。
反證法：
設有壹直線l與面S上兩條相交直線AB、CD都垂直，則l⊥面S
假設l不垂直於面S，則要麽l∥S，要麽斜交於S且夾角不等於90。
當l∥S時，則l不可能與AB和CD都垂直。這是因為當l⊥AB時，過l任意作壹個平面R與S交於m，則由線面平行的性質可知m∥l
∴m⊥AB
又∵l⊥CD
∴m⊥CD
∴AB∥CD，與已知條件矛盾。
當l斜交S時，過交點在S內作壹直線n⊥l，則n和l構成壹個新的平面T，且T和S斜交（若T⊥S，則n是兩平面交線。由面面垂直的性質可知l⊥S，與l斜交S矛盾）。
∵l⊥AB
∴AB∥n
∵l⊥CD
∴CD∥n
∴AB∥CD，與已知條件矛盾。
綜上，l⊥S
代數法：
如圖，l與α內兩條相交直線a，b都垂直，求證：l⊥α
證明：與a或b平行的直線必垂直l，因此接下來的討論圍繞與a，b不平行的直線進行。
先將a，b，l平移至相交於O點，過O作任意壹條直線g，在g上取異於O的點G，過G作GB∥a交b於B，過G作GA∥b交a於A。連接AB，設AB與OG交點為C
∵OA∥GB,OB∥GA
∴四邊形OAGB是平行四邊形
∴C是AB中點
由中線定理，
在l上取異於O的點D，連接DA,DB，由中線定理
兩式相減可得
又註意到OD⊥OA,OD⊥OB
∴得
即
∴OD⊥OC
由g的`任意性可知，l與α內任意直線都垂直
∴l⊥α
向量法：
設直線l是與α內相交直線a，b都垂直的直線，求證：l⊥α
證明：設a，b，l的方向向量為a，b，l
∵a與b相交，即a，b不***線
∴由平面向量基本定理可知，α內任意壹個向量c都可以寫成c= λa+ μb的形式
∵l⊥a，l⊥b
∴l·a=0，l·b=0
l·c=l·（λa+ μb）=λl·a+ μl·b=0+0=0
∴l⊥c
設c是α內任壹直線c的方向向量，則有l⊥c
根據c的任意性，l與α內任壹直線都垂直
∴l⊥α
線面垂直的性質定理
性質定理1：如果壹條直線垂直於壹個平面，那麽該直線垂直於平面內的所有直線。
性質定理2：經過空間內壹點，有且只有壹條直線垂直已知平面。
性質定理3：如果在兩條平行直線中，有壹條直線垂直於壹個平面，那麽另壹條直線也垂直於這個平面。
性質定理4：垂直於同壹平面的兩條直線平行。
推論：空間內如果兩條直線都與第三條直線平行，那麽這兩條直線平行。（該推論意味著平行線的傳遞性不僅在平面幾何上，在空間幾何上也成立。）