平行線與平面→平行線與直線:若壹條直線平行於壹個平面，且穿過該直線的平面與該平面相交，則該直線平行於交線。
平行線與平面→平行平面:如果壹個平面內兩條相交的直線平行於另壹個平面，那麽這兩個平面平行。
面對面平行→線對線平行:
如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，則它們的交線是平行的。
垂直線→垂直線:如果壹條直線垂直於平面上兩條相交的直線，那麽這條直線垂直於平面。
線-面垂直→線-線平行:若兩條直線同時垂直於壹個平面，則兩條直線平行。
線-面垂直→面-面垂直:如果壹個平面通過另壹個平面的垂直線，那麽兩個平面互相垂直。
擴展數據:
如果兩個平面的垂線平行，則這兩個平面平行。(可以理解為法向量平行的平面是平行的)
根據直線與平面垂直的性質，應用定理1證明了兩條平行線與兩個平面都垂直。
定理1及其推論是向量法證明平面平行的基礎。如果兩個平面的法向量平行或相等，則這兩個平面平行。
兩個平面平行，垂直於壹個平面的直線壹定垂直於另壹個平面。(判定定理1的逆定理)
已知:α∑β，l⊥α.核實:l⊥β
證明:先證明l和β有交集。如果l∧β
∵l⊥α
∴ α⊥ β(垂直面的判斷)與α∧β矛盾，所以l和β壹定有交集。
設l∩α=A，l ∩ β = b。
在α內，通過A任意畫壹條直線A，則A ∩ L = A。
所以a和l定義了壹個平面。很明顯，既然L與β相交，那麽A和L定義的平面也與β相交。
設與β的交點為B，由定理2可知a∨B。
∵l⊥α,a？α
∴l⊥a
∴l⊥b
然後通過a，在α中作壹條與a不重合的直線c，經過l和c的平面在d處與β相交，那麽l⊥d可以用同樣的方法證明。
很明顯，B和D相交。這是因為如果假設b∨d，由於A∨b和C∨d可以推導出A∨C，但是A和C都是通過A點作出的，這就產生了矛盾。
∵l和β相互垂直。
∴l⊥β
通過平面外的壹點，有且僅有壹個平面平行於已知平面。
已知p是平面α外的壹點。
證明:p中只有壹個平面β∨α。
證明:
先證明存在。在α中任意作兩條相交的直線A和B，過P後分別作A '∨A和B '∨B，則A '和B '確定壹個平面β。從判定定理3可以知道β∑α。
再次證明獨特性。假設有兩個平面β1和β2平行於α，那麽p是l⊥α，根據性質定理3，l⊥β1和l⊥β2.
根據判定定理1，β1∧β2，這與β1和β2同時通過P點是矛盾的。
兩個以上的情況證明是相似的，所以p中只有壹個平面β∑α。
參考資料:
百度百科-面對面平行