傳遞函數的定義

在工程中，傳遞函數(又稱系統函數、傳遞函數或網絡函數，畫出的曲線稱為傳遞曲線)是用來擬合或描述黑箱模型(系統)輸入輸出關系的數學表達式。通常是以空間或時間頻率為變量的線性時不變系統(LTI)在零初始條件和零平衡點下的輸入輸出關系。但在某些數據源中，在不使用變換到S平面的結果的情況下，用“傳遞函數”直接表示某些物理量的輸入輸出特性(如二端口網絡中的輸出電壓取為輸入電壓的函數)。

傳遞函數通常用於分析單輸入單輸出等濾波系統，主要應用於信號處理、通信理論和控制理論。該術語通常專門用於本文所述的線性時不變系統(LTI)。實際系統基本上具有非線性輸入輸出特性，但許多系統的運行狀態在標稱參數範圍內非常接近線性，因此在實際應用中可以用線性時不變系統理論來表達其輸入輸出行為。

簡單來說，下面的描述都是基於復數的。在很多應用中，定義(then)就足夠了，從而將復參數的拉普拉斯變換簡化為實參數的傅立葉變換。

那麽，對於最簡單的連續時間輸入信號和輸出信號，傳遞函數反映了零狀態條件下輸入信號的拉普拉斯變換和輸出信號的拉普拉斯變換之間的線性映射關系:

或者

在離散時間系統中，通過應用z變換，傳遞函數可以類似地表示如下

這通常稱為脈沖傳遞函數。

直接從微分方程中導出

考慮壹個常系數線性微分方程。

其中U和r是t的真光滑函數，L是定義在相關函數空間的算子，它把U變換成r，這個方程可以用來約束以強制函數r為變量的輸出函數U。傳遞函數寫成算符的形式，是l的右逆，因為。

這個常系數齊次微分方程的解是可以通過嘗試來找到的。這種替換將產生特征多項式。

當輸入函數r的形式也是0時，非齊次情況也可以容易地解決。在這種情況下，它可以通過替換找到當且僅當。

以此作為傳遞函數的定義需要註意區分實數和復數的區別。這受到abs(H(s))表示增益而-atan(H(s))表示相位滯後的慣例的影響。傳遞函數的其他定義包括，例如。