整體設計
教學分析
本節課的研究是對初中不等式學習的延續和拓展，也是實數理論的進壹步發展.在本節課的學習過程中，將讓學生回憶實數的基本理論，並能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小.
通過本節課的學習， 讓學生從壹系列的具體問題情境中，感受到在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，並充分認識不等關系的存在與應用.對不等關系的相關素材，用數學觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來.
在本節課的學習過程中還安排了壹些簡單的、學生易於處理的問題，其用意在於讓學生註意對數學知識和方法的應用，同時也能激發學生的學習興趣，並由衷地產生用數學工具研究不等關系的願望.根據本節課的教學內容，應用再現、回憶得出實數的基本理論，並能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小.
在本節教學中，教師可讓學生閱讀書中實例，充分利用數軸這壹簡單的數形結合工具，直接用實數與數軸上 點的壹壹對應關系，從數與形兩方面建立實數的順序關系.要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識.
三維目標
1.在學生了解不等式產生的實際背景下，利用數軸回憶實數的基本理論，理解實數的大小關系，理解實數大小與數軸上對應點位置間的關系.
2.會用作差法判斷實數與代數式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和範圍.
3.通過溫故知新，提高學生對不等式的認識，激發學生的學習興趣，體會數學的奧秘與數學的結構美.
重點難點
教學重點：比較實數與代數式的大小關系，判斷二次式的大小和範圍.
教學難點：準確比較兩個代數式的大小.
課時安排
1課時
教學過程
導入新課
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛星、飛船和壹幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學生帶入?橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同?的大自然和浩瀚的宇宙中，使學生在具體情境中感受到不等關系在現實世界和日常生活中是大量存在的，由此產生用數學研究不等關系的強烈願望，自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數學成績的多少等現實生活中學生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數量上存在的不等關系.這些不等關系怎樣在數學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯想，教師組織不等關系的相關素材，讓學 生用數學的觀點進行觀察、歸納，使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系壹樣，在現實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產生用數學工具研究不等關系的願望，從而進入進壹步的探究學習，由此引入新課.
推進新課
新知探究
提出問題
?1?回憶初中學過的不等式，讓學生說出?不等關系?與?不等式?的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關系?
?2?在現實世界和日常生活中，既有相等關系，又存在著大量的不等關系.妳能舉出壹些實際例子嗎?
?3?數軸上的任意兩 點與對應的兩實數具有怎樣的關系?
?4?任意兩個實數具有怎樣的關系?用邏輯用語怎樣表達這個關系?
活動：教師引導學生回憶初中學過的不等式概念，使學生明確?不等關系?與?不等式?的異同.不等關系強調的是關系，可用符號?>?<?表示，而不等式則是表示兩者的不等關系，可用?a>b?a
教師與學生壹起舉出我們日常生活中不等關系的例子，可讓學生充分合作討論，使學生感受到現實世界中存在著大量的不等關系.在學生了解了壹些不等式產生的實際背景的前提下，進壹步學習不等式的有關內容.
實例1：某天的天氣預報報道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.
實例2：對於數軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA
實例3：若壹個數是非負數，則這個數大於或等於零.
實例4：兩點之間線段最短.
實例5：三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊.
實例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7：某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少於2.5%，蛋白質的含量p應不少於2.3%.
教師進壹步點撥：能夠發現身 邊的數學當然很好，這說明同學們已經走進了數學這門學科，但作為我們研究數學的人來說，能用數學的眼光、數學的觀點進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數學的人必須要做的，那麽，我們可以用我們所研究過的什麽知識來表示這些不等關系呢?學生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關系.那麽不等式就是用不等號將兩個代數式連結起來所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x?6，a+2?0,3?4,0?5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃?t?32 ℃.實例3，若用x表示壹個非負數，則x?0.實例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交換被減數與減數的位置也可以.
實例6，若用v表示速度，則v?40 km/h.實例7，f?2.5%，p?2.3%.對於實例7，教師應點撥學生註意酸奶中的脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足，避免寫成f?2.5%或p?2.3%，這是不對的.但可表示為f?2.5%且p?2.3%.
對以上問題，教師讓學生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個結論.
討論結果：
(1)(2)略;(3)數軸上任意兩點中，右邊點對應的實數比左邊點對應的實數大.
(4)對於任意兩個實數a和b，在a=b，a>b，a0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a
應用示例
例1(教材本節例1和例2)
活動：通過兩例讓學生熟悉兩個代數式的大小比較的基本方法：作差，配方法.
點評：本節兩例的求解，是借助因式分解和應用配方法完成的，這兩種方法是代數式變形時經常使用的方法，應讓學生熟練掌握.
變式訓練
1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關系是( )
A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)
C.f(x)
答案：A
解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1?1>0，?f(x)>g(x).
2.已知x?0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x?0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數的大小(a?b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動：比較兩個實數的大小，常根據實數的運算性質與大小順序的關系，歸結為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成，但要點撥學生在最後的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點.
解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=?a+b?2-4ab2?a+b?=?a-b?22?a+b?.
∵a>0，b>0且a?b，?a+b>0，(a-b)2>0.?a-b?22?a+b?>0，即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2?0(當且僅當a=b=0時取等號)，
又a?b，?(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.?-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.
?a4-b4<4a3(a-b).
點評：比較大小常用作差法，壹般步驟是作差?變形?判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方，前者將?差?變為?積?，後者將?差?化為壹個或幾個完全平方式的?和?，也可兩者並用.
變式訓練
已知x>y，且y?0，比較xy與1的大小.
活動：要比較任意兩個數或式的大小關系，只需確定它們的差與0的大小關系.
解：xy-1=x-yy.
∵x>y，?x-y>0.
當y<0時，x-yy<0，即xy-1<0. ?xy<1;
當y>0時，x-yy>0，即xy-1>0.?xy>1.
點評：當字母y取不同範圍的值時，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類討論.
例3建築設計規定，民用住宅的窗戶面積必須小於地板面積.但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小於10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好.試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積， 住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請說明理由.
活動：解題關鍵首先是把文 字語言轉換成數學語言，然後比較前後比值的大小，采用作差法.
解：設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據問題的要求a
由於a+mb+m-ab=m?b-a?b?b+m?>0，於是a+mb+m>ab.又ab?10%，
因此a+mb+m>ab?10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積後，住宅的采光條件變好了.
點評：壹般地，設a、b為正實數，且a0，則a+mb+m>ab.
變式訓練
已知a1，a2，?為各項都大於零的等比數列，公比q?1，則( )
A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
答案：A
解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大於零，?q>0，即1+q>0.
又∵q?1，?(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.
知能訓練
1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數為( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案：
1.C 解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2?0，
③x2+y2-2xy=(x-y)2?0.
?只有①恒成立.
2.解：因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
課堂小結
1.教師與學生***同完成本節課的小結，從實數的基本性質的回顧，到兩個實數大小的比較方法;從例題的活動探究點評，到緊跟著的變式訓練，讓學生去繁就簡，聯系舊知，將本節課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛，點撥利用實數的基本性質對兩個實數大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節末的思考與討論在課後作進壹步的探究.
作業
習題3?1A組3;習題3?1B組2.
設計感想
1.本節設計關註了教學方法 的優化.經驗告訴我們：課堂上應根據具體情況，選擇、設計最能體現教學規律的教學 過程，不宜長期使用壹種固定的教學方法，或原封不動地照搬壹種實驗模式.各種教學方法中，沒有壹種能很好地適應壹切教學活動.也就是說，世上沒有萬能的教學方法.針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節設計註重了難度控制.不等式內容應用面廣，可以說與其他所有內容都有交匯，歷 來是高考的重點與熱點.作為本章開始，可以適當開闊壹些，算作拋磚引玉，讓學生有個自由探究聯想的平臺，但不宜過多向外拓展，以免對學生產生負面影響.
3.本節設計關註了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力，提升思維的品質，是數學教師直面的重要課題，也是中學數學教育的主線.采用壹題多解有助於思維的發散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度，解題後的點撥反思有助於學生思維批判性品質的提升.
備課資料
備用習題
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
3.已知x>0，求證：1+x2>1+x .
4.若x
5.設a>0，b>0，且a?b，試比較aabb與abba的大小.
參考答案：
1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)
=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)
=1>0，
?(x-3)2>(x-2)(x-4).
2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)
=m2-2m+5+2m-5
=m2.
∵m2?0，?(m2-2m+5)-(-2m+5)?0.
?m2-2m+5?-2m+5.
(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)
=a2-4a+3+4a-1
=a2+2.
∵a2?0，?a2+2?2>0.
?a2-4a+3>-4a+1.
3.證明：∵(1+x2)2-(1+x)2
=1+x+x24-(x+1)
=x24，
又∵x>0，?x24>0.
?(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0，得1+x2>1+x.
4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0，x-y<0.
?-2xy(x-y)>0.
?(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a?b，
當a>b>0時，ab>1，a-b>0，
則(ab)a-b>1，於是aabb>abba.
當b>a>0時，0
則(ab)a-b>1.
於是aabb>abb a.
綜上所述，對於不 相等的正數a、b，都有aabb>abba.
高中數學必修5《不等關系與不等式》教案二教學準備
教學目標
熟練掌握不等式的證明問題
教學重難點
熟練掌握不等式的證明問題
教學過程
不等式的證明二
基礎訓練
1.若，，則下列不等始終正確的是( )
2.設a，b為實數，且，則的最小值是( )
4.求證：對任何式數x，y，z，下述三個不等式不可能同時成立